Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，AB=PA，点E是PD上的点，且DE=λEP（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求证：PB⊥AC；
（Ⅱ）求λ的值，使PB∥平面ACE；
（Ⅲ）当λ=1时，求三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的体积之比．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明AC⊥平面PAB，利用线面垂直的性质，可得PB⊥AC；
（Ⅱ）连接BD交AC于O，连接OE，根据PB∥平面ACE，可得PB∥OE，利用O为BD的中点，可得E为PD的中点，故可求λ的值；（Ⅲ）当λ=1时，求出三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的底面积之比与高之比，可得三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的体积之比．

解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC…（1分）
又∵AC⊥AB，PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，∴AC⊥平面PAB，…（3分）
又∵PB?平面PAB，∴PB⊥AC．…4 分
（Ⅱ）解：连接BD交AC于O，连接OE，

∵PB∥平面ACE，平面ACE∩平面PBD=OE，∴PB∥OE，…6 分
又∵O为BD的中点，∴E为PD的中点，故λ=1．…8 分
（Ⅲ）解：当λ=1时，三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的底面积之比是1：2，高之比也是1：2，
故三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的体积之比是1：4…12 分

点评：本题流程线面垂直，考查线面平行，考查棱锥的体积，掌握线面垂直、平行的判定是关键．