Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆．
（1）若过点C₁（-1，0）的直线l被圆C₂截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）设动圆C同时平分圆C₁的周长、圆C₂的周长．
①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；
②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设过直线l方程：y=k（x+1），根据垂直于弦的直径的性质，结合点到直线的距离公式列式，可解出k的值，从而得到直线l的方程；
（2）①由题意，圆心C到C₁、C₂两点的距离相等，由此结合两点间的距离公式建立关系式，化简整理得x+y-3=0，即为所求定直线方程；
②根据题意设C（m，3-m），得到圆C方程关于参数m的一般方程形式，由此可得动圆C经过圆x²+y²-6y-2=0与直线x-y+1=0的交点，最后联解方程组，即可得到动圆C经过的定点坐标．
解答：解：（1）设过点C₁（-1，0）的直线l方程：y=k（x+1），化成一般式kx-y+k=0
∵直线l被圆C₂截得的弦长为，
∴点C₂（3，4）到直线l的距离为d==，
解之得k=或
由此可得直线l的方程为：4x-3y+4=0或3x-4y+3=0．
（2）①设圆心C（x，y），由题意，得CC₁=CC₂，
即=，
化简整理，得x+y-3=0，
即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动．
②设圆C过定点，设C（m，3-m），
则动圆C的半径为=，
于是动圆C的方程为（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²，
整理，得x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0，
由得或
所以动圆C经过定点，其坐标为，．
点评：本题求被定圆截得定长的弦所在直线方程，并探索动圆圆心在定直线上的问题．考查了直线与圆的方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，考查学生运算能力．