Question

设函数f（x）=ax³+bx²-3a²x+1（a，b∈R）在x=x₁，x=x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）若a=1，求b的值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意f（x）=ax³+bx²-3a²x+1=x³+bx²-3x+1，求出其导数f'（x）=3x²+2bx-3，令f′（x）=0，求出极值点x=x₁，x=x₂利用|x₁-x₂|=2求出b值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）不知a值，只知a＞0，由题意知x₁，x₂为方程3x²+2bx-3a²=0的两根，得|x1-x2|=

4b2+36a3

3a

=2，求出a的范围，因g（a）=9a²-9a³，求出g（a）的单调区间，从而求出a与b的关系，最后根据a的范围确定b的范围．

解答：解：f'（x）=3ax²+2bx-3a²．①（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=3x²+2bx-3；
由题意知x₁，x₂为方程3x²+2bx-3=0的两根，所以|x1-x2|=

4b2+36

3

．
由|x₁-x₂|=2，得b=0．（4分）
从而f（x）=x²-3x+1，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0；当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0．
故f（x）在（-1，1）单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）单调递增．（6分）
（Ⅱ）由①式及题意知x₁，x₂为方程3x²+2bx-3a²=0的两根，
所以|x1-x2|=

4b2+36a3

3a

．从而|x₁-x₂|=2?b²=9a²（1-a），
由上式及题设知0＜a≤1．（8分）
考虑g（a）=9a²-9a³，g′(a)=18a-27a2=-27a(a-

2

3

)．（10分）
故g（a）在(0，

2

3

)单调递增，在(

2

3

，1)单调递减，从而g（a）在（0，1]的极大值为g(

2

3

)=

4

3

．
又g（a）在（0，1]上只有一个极值，所以g(

2

3

)=

4

3

为g（a）在（0，1]上的最大值，且最小值为g（1）=0．所以b2∈[0，

4

3

]，即b的取值范围为[-

2 3

3

，

2 3

3

]．（14分）

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．