Question

19．函数f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2．其中x∈[0，2]
（1）当a=1时．求函数f（x）在给定区间上的最值；
（2）若f（x）在给定区间上的最小值3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把a代人得f（x）=4x²-4x+1，利用二次函数性质求最值；
（2）配方得f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2=4（x-$\frac{a}{2}$）²-2a+2可知对称轴为$\frac{a}{2}$，距离对称轴越近的点，值越小．只需对$\frac{a}{2}$分类讨论即可．

解答 解：（1）当a=1时
f（x）=4x²-4x+1
=（2x-1）²
∵x∈[0，2]
∴f（x）的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=0，最大值为f（2）=9；
（2）f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2
=4（x-$\frac{a}{2}$）²-2a+2
当$\frac{a}{2}$≤1即a≤2时，f（x）的最小值为f（0）=a²-2a+2=3
解得a=1-$\sqrt{2}$
当当$\frac{a}{2}$＞1即a＞2时，f（x）的最小值为f（2）=3
解得a=5+$\sqrt{10}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．