Question

函数f（x）=

-(x- 1 2 )2+ 1 12 ，- 1 2 - 3 6 ≤x≤ 1 2 x3 x+1 ，                         1 2 ＜x≤2

和函数g（x）=asin

π

6

x-a+1 （a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据给出的函数f（x）的解析式求出其值域，然后求出函数g（x）在x∈[0，1]上的值域，由存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，说明函数g（x）的最值中至少一个在范围内，最后列式求解a的范围．

解答： 解：当

1

2

＜x≤1，f（x）=

x3

x+1

，f′（x）=

3x2(x+1)-x3

(x+1)2

=

2x3+3x2

(x+1)2

＞0，
所以函数f（x）在

1

2

＜x≤1上为增函数，所以f（x）∈（

1

12

，

1

2

]，
当x∈[0，

1

2

]时，函数f（x）=-（x-

1

2

）²+

1

12

为增函数，f（x）∈[-

1

6

，

1

12

]，
所以在[0，1]上f（x）∈[-

1

6

，

1

2

]，
函数g（x）=asin

π

6

x-a+1 （a＞0），
当x∈[0，1]时，sin

π

6

x∈[0，

1

2

]，
所以g（x）∈[1-a，1-

a

2

]，
若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，说明函数函数g（x）的最大值与最小值中至少一个在[-

1

6

，

1

2

]内，
所以-

1

6

≤1-a≤

1

2

，-

1

6

≤1-

a

2

≤

1

2

，
即

1

2

≤a≤

7

6

或1≤a≤

7

3

即

1

2

≤a≤

7

3

，
所以实数a的取值范围是

1

2

≤a≤

7

3

，
故答案为：[

1

2

，

7

3

]

点评：本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，考查了数学转化思想，本题把函数的零点的研究转化为元素与集合之间的关系问题．