Question

已知向量

m

=（2sinx，1），

n

=（

3

cosx，2cos²x），函数f（x）=

m

•

n

-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0 在x∈[0，

π

2

]上有解，求t 的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC 中，a，b，c分别是A，B，C 所对的边，当t=3 且f（A）=-1，b+c=2 时，求a 的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积公式和三角恒等变换公式，化简得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1-t，利用正弦函数的图象与性质，算出f（x）在[0，

π

2

]上的值域为[-t，3-t]，结合题意建立关于t的不等式组，解之可得t的取值范围；
（II）由（I）结合t=3可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）-2，结合A为三角形的内角解方程f（A）=-1，得到A=

π

3

．
△ABC中利用余弦定理算出a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，根据b+c=2将a²化成关于b的函数，利用二次函数
的性质即可算出当b=c=1时，边a的最小值为1．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（2sinx，1），

n

=（

3

cosx，2cos²x），
∴f（x）=

m

•

n

-t=2

3

sinxcosx+2cos²x-t
=

3

sin2x+cos2x+1-t=2sin（2x+

π

6

）+1-t，
∵x∈[0，

π

2

]，得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，可得2sin（2x+

π

6

）+1-t∈[-t，3-t]．
∵方程f（x）=0 在x∈[0，

π

2

]上有解，
∴0∈[-t，3-t]，
即

-t≤0 3-t≥0

，
解得0≤t≤3；
（II）根据t=3，由（I）得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1-t=2sin（2x+

π

6

）-2，
∵f（A）=-1，
∴代入函数式，可得2sin（2A+

π

6

）-2=-1，解得sin（2A+

π

6

）=

1

2

∵2A+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．
∵在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
∴a²=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc．
∵b+c=2，可得c=2-b，
∴代入上式得：a²=4-3b（2-b）=3b²-6b+4=3（b-1）²+1，
∵（b-1）²≥0，∴a²≥1，当且仅当b=1时等号成立．
因此，当b=1时即b=c=1时，边a的最小值为1．

点评：本题给出以向量的数量积为解析式的函数，求函数的表达式并依此讨论三角形的边长的最小值问题．着重考查了向量的数量积公式、三角恒等变换公式和余弦定理和二次函数的性质等知识，属于中档题．