Question

已知向量

m

=（2sinx，2cosx），

n

=（

3

cosx，cosx），f（x）=

m

•

n

-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的

1

2

，把所得到的图象再向左平移

π

6

单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，

π

8

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由向量的数量积的坐标表示及二倍角公式、辅助角公式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），根据周期公式可求T；再由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可求f（x）的单调递增区间
（2）根据函数的变换可得g（x）=2sin（4x+

5π

6

），由x∈[0，

π

8

]，可求4x+

5π

6

∈[

5π

6

，

4π

3

]．结合正弦函数的性质可求函数的 最小值

解答：解：（1）因为f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）（3分）
∴函数f（x）的最小正周期为T=π、…（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得f（x）的单调递增区间为[kπ-

1

3

π，kπ+

π

6

]，k∈Z（6分）
（2）根据条件得g（x）=2sin（4x+

5π

6

）…（8分）
当x∈[0，

π

8

]时，4x+

5π

6

∈[

5π

6

，

4π

3

]，…（10分）
所以当x=

π

8

时，g(x)min=-

3

、…（12分）

点评：本题主要考查了平面向量的数量积的坐标表示及三角函数的二倍角、辅助角公式的综合应用，正弦函数的性质的综合应用．