Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2x；   
②f（x）=sinx+cosx；
③f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|；
④f(x)=

0当x∈[-1，1] 时 ln|x|当x∈(-∞ -1)∪(1，+∞) 时

．
其中是“倍约束函数”的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：本题考查阅读题意的能力，根据“倍约束函数”，的定义进行判定：对①f（x）=2x，易知存在K=2符合题意；②令x=0时即可得出结论对③通过取x₂=0，如此可得到正确结论．

解答：解：∵对任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K|x|成立∴对任意x∈D，存在正数K，都有 K≥

|f(x)|

|x|

成立
∴对①f（x）=2x，易知存在K=2符合题意；
对于②，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|≤M|x|不成立，故错误；
对于③，当x=0，因|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故③正确；
④f(x)=

0当x∈[-1，1] 时 ln|x|当x∈(-∞ -1)∪(1，+∞) 时

，当e＞x＞1时，

lnx

x

是增函数，x≥e时是减函数，所以x=e时函数取得最大值，所以存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以f（x）为“倍约束函数，④正确．
故选C．

点评：题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．