Question

4．已知F是双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d²，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d₁d₂=$\frac{{b}^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$=d²，F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离为$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=b=2d，求出可求双曲线的离心率．

解答 解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d₁d₂=$\frac{{b}^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$=d²，
F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离为$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=b=2d，
∴$\frac{ab}{c}=\frac{b}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=2，
故选B．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．