Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E为BC中点，AE与BD交于O点，AB=BC=2CD，PO⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥PE；
（2）若AO=2PO，求二面角D-PE-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先证明OB⊥AE、PO⊥BD，利用线面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAE，从而可得BD⊥PE；
（2）过B作BF⊥PE，F为垂足，连接DF，OF，可得∠BFD为二面角D-PE-B的平面角，利用余弦定理，可求求二面角D-PE-B的余弦值．

解答：（1）证明：∵AB=BC，BE=CD，∠ABC=∠BCS
∴△ABE≌△BCD
∴∠EAB=∠CBD
∴∠BOE=∠EAB+∠OBA=∠CBD+∠OBA=90°
∴OB⊥AE
∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PO⊥BD
∵AE∩PO=O
∴BD⊥平面PAE
∵PE?平面ABCD，
∴BD⊥PE；
（2）解：过B作BF⊥PE，F为垂足，连接DF，OF，
∵BD⊥PE，BD∩BF=B
∴PE⊥平面BDF
∴DF⊥PE
∴∠BFD为二面角D-PE-B的平面角
设OE=1，则OB=2，OD=3，OA=4，OP=2
∵OF=

OP•OE

PE

=

2

5

∴BF=

2 6

5

，DF=

7

5

∴cos∠BFD=

BF2+DF2-BD2

2BF•DF

=-

13

42

6

∴二面角D-PE-B的余弦值为-

13

42

6

．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．