【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)定义:“对于在区域上有定义的函数
和
,若满足
恒成立,则称曲线
为曲线
在区域
上的紧邻曲线”.试问曲线
与曲线
是否存在相同的紧邻直线,若存在,请求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 当时,
在
上单调递减;当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增;(2)见解析.
【解析】分析:(1)先求导,再对m分类讨论,求出函数的单调性.(2)先把命题等价转化为曲线
与曲线
是否相同的外公切线,再去求两支曲线的外公切线令它们相等,最后转化为唯一解问题求出m的值.
详解:(1).
当时,
,函数
在
上单调递减;
当时,令
,得
,函数
在
上单调递减;
令,得
,函数
在
上单调递增.
综上所述,当时,
在
上单调递减;
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)原命题等价于曲线与曲线
是否相同的外公切线.
函数在点
处的切线方程为
,即
,
曲线在点
处的切线方程为
,即
.
曲线与
的图象有且仅有一条外公切线,
所以
有唯一一对满足这个方程组,且
,
由(1)得代入(2)消去
,整理得
,
关于的方程有唯一解.
令,
∴.
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增;
所以.
因为,
;
,
,只需
.
令,
在
为单减函数,
且时,
,即
,
所以时,关于
的方程
有唯一解,
此时,外公切线的方程为
.
∴这两条曲线存在相同的紧邻直线,此时.
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【题目】如图所示,近日我渔船编队在岛周围海域作业,在岛
的南偏西20°方向有一个海面观测站
,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与
相距31海里的
处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/小时的速度向岛
直线航行以保护我渔船编队,30分钟后到达
处,此时观测站测得
间的距离为21海里.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛?
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【题目】下列说法错误的是( )
A. 命题“若x2-4x+3=0,则x=3”的逆否命题是:“若x≠3,则x2-4x+3≠0”
B. “x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C. 若p且q为假命题,则p、q均为假命题
D. 命题p:“x0∈R使得+x0+1<0”,则
p:“x∈R,均有x2+x+1≥0”
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【题目】 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?
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【题目】如图,在四棱锥中, 平面
平面
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在, 求
的值;若不存在, 说明理由.
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【题目】为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表:
场数 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
人数 | 10 | 18 | 22 | 25 | 20 | 5 |
将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”,已知“歌迷”中有10名女性.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关?
非歌迷 | 歌迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(2)将收看该节目所有场次(14场)的观众称为“超级歌迷”,已知“超级歌迷”中有2名女性,若从“超级歌迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
附:K2=.
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