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    【题目】如图，三棱柱中，，平面.

    （1）证明：；

    （2）若，，求二面角的余弦值.

    【答案】(1)见解析；（2）余弦值为.

    【解析】分析: (1)先证明平面,即证.(2)先证明,,再建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的余弦值.

    详解:（1）证明：∵平面，∴.

    ∵，

    ∴，∴平面，∴.

    （2）解：∵平面，∴，

    ∴四边形为菱形，∴.

    又，∴与均为正三角形.

    取的中点，连接，则.

    由（1）知，则可建立如图所示的空间直角坐标系.

    设，则，，，，.

    ∴，，.

    设平面的法向量为，

    则，

    ∴∴

    取，则为平面的一个法向量.

    又为平面的一个法向量，

    ∴.

    又二面角的平面角为钝角，所以其余弦值为.

    点睛:本题主要考查空间位置关系的证明和二面角的平面角的计算,主要考查学生的空间想象能力和计算能力.属于中档题.

    练习册系列答案
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