Question

已知函数f(x)=

x

x2+1

．
（1） 判断并证明函数f（x）的奇偶性
（2）判断并证明当x∈（-1，1）时函数f（x）的单调性；
（3）在（2）成立的条件下，解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）由于函数的定义域为R，关于原点对称，故我们可利用函数奇偶性的性质判断方法来解答问题；
（2）由函数f（x）的解析式，我们易求出原函数的导函数的解析式，结合x∈（-1，1），确定导函数的符号，即可判断函数的单调性；
（3）结合（1）、（2）的结论，我们可将原不等式转化为一个关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案．

解答：解：（1）∵y=x²+1为偶函数，y=x为奇函数
根据函数奇偶性的性质，我们易得
函数f(x)=

x

x2+1

为奇函数．
（2）当x∈（-1，1）时
∵函数f(x)=

x

x2+1

f'（x）=

1-x2

(x2+1)2

＞0恒成立
故f（x）在区间（-1，1）上为单调增函数；
（3）在（2）成立的条件下，不等式f（2x-1）+f（x）＜0可化为：

-1＜2x-1＜1 -1＜x＜1 x＜1-2x

解得：0＜x＜

1

3

∴不等式的解集为(0，

1

3

)．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断及函数性质的综合应用，其中熟练掌握各种函数的性质及应用是解答本题的关键．