Question

三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC=1，OA=a，OB=b，a+2b=4，当三棱锥O-ABC体积最大时，则不等式loga(x2-bx)≤b的解集为（　　）

A．[-1，2]

B．[-2，0）∪[1，+∞）

C．[-2，1]

D．[-1，0）∪（1，2]

Answer 1

分析：求出三棱锥O-ABC体积V 的解析式，由基本不等式求出V取最大值时的a、b的值，确定要解的不等式为log2(x2-x)≤1，根据0＜x²-x≤2求出不等式的解集．

解答：解：由题意可得当三棱锥O-ABC体积V=

1

3

×（

1

2

ab）×OC=

1

6

ab．
又 a+2b=4≥2

2ab

，∴ab≤2，当且仅当a=2b=2 时，等号成立．
故当a=2b=2 时，三棱锥O-ABC体积V取得最大值．
不等式loga(x2-bx)≤b即，log2(x2-x)≤1，
∴0＜x²-x≤2，即

x(x-1)＞0 (x+1)(x-2)≤0

．
解得-1≤x＜0，1＜x≤2，即不等式loga(x2-bx)≤b的解集为[-1，0）∪（1，2]，
故选D．

点评：本题主要考查棱锥的体积，基本不等式的应用，对数不等式的解法，属于中档题．