Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-1|+|2x-3|-a．
（I）当a=2时，求不等式f（x）≥0的解集；
（II ）若f（x）≥O恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=2时，由不等式可得 ①

x＜1 1-x+3-2x≥2

，或②

1≤x＜ 3 2 x-1+3-2x≥2

，或 ③

x≥ 3 2 x-1+2x-3≥2

．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（II ）由题意可得，f（x）的最小值大于或等于零，根据函数的解析式可得函数的最小值为 f（

3

2

）=

1

2

-a，从而求得a的取值范围．

解答：解：（I）当a=2时，求不等式f（x）≥0 即|x-1|+|2x-3|≥2，
∴①

x＜1 1-x+3-2x≥2

，或②

1≤x＜ 3 2 x-1+3-2x≥2

，或 ③

x≥ 3 2 x-1+2x-3≥2

．
解①得 x≤

2

3

，解②得x∈∅，解③得x≥3，
故不等式的解集为{x|x≤

2

3

，或x≥3}．
（II ）若f（x）≥O恒成立，则f（x）的最小值大于或等于零．
由于函数 f（x）=

4-3x-a ， x＜-1 2-x-a ， 1≤x＜ 3 2 3x-4-a ， x≥ 3 2

，显然函数在（-∞，

3

2

]上是减函数，
故函数的最小值为 f（

3

2

）=

1

2

-a≥0，解得 a≤

1

2

，
故a的取值范围为（-∞，

1

2

]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．