Question

已知a∈{x|log₂x+x=0}，则f（x）=log_a（x²-2x-3）的增区间为________．

Answer 1

（-∞，-1）
分析：先求出函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），根据在（-∞，-1）上，t是减函数，f（x）=log_at 是增函数，在（3，+∞）上，t是增函数，f（x）=log_at 是
减函数，得出结论．
解答：由log₂x+x=0，可得 0＜x＜1，从而可得0＜a＜1．
令t=x²-2x-3=（x-3）（x+1）＞0，可得 x＜-1，或 x＞3，故函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞）．
在（-∞，-1）上，t是减函数，f（x）=log_a（x²-2x-3）=log_at 是增函数．
在（3，+∞）上，t是增函数，f（x）=log_a（x²-2x-3）=log_at 是减函数．
则f（x）=log_a（x²-2x-3）的增区间为 （-∞，-1），
故答案为 （-∞，-1）．
点评：本题主要考查对数函数的定义域及对数函数的单调性和特殊点，注意对数函数的定义域及复合函数的单调性：“同增异减”，属于中档题．