Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数（是自然对数的底数）恰有一个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.

【解析】

（1）先根据题意求得函数的定义域，再对函数求导，利用导数求函数的单调区间即可；

（2）先将函数恰有一个零点等价转化为方程在上恰有一解，然后换元，构造函数，利用分类讨论思想进行求解，也可分离参数，构造新函数，利用导数研究新函数的图象，数形结合即可求解．

（1）由题意知，函数的定义域为，则，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）解法1、由函数恰有一个零点，等价于方程在上恰有一解，即方程在上恰有一解，

令，易知在上单调递增，

且当时，，当时，，所以，

所以方程在上恰有一解，

记，则．

①当时，，所以函数单调递增，

又当时，，且，

所以当时，方程在上恰有一解，满足题意．

②当时，方程在上恰有一解，满足题意．

③当时，由，得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减．

又当时，，当时，，

所以当，即时，方程在上恰有一解．

综上所述，实数的取值范围为．

解法2、 函数恰有一个零点，等价于方程在上恰有一解，即方程在上恰有一解．

令，易知在上单调递增，

且当时，，当时，，所以，

所以方程在上恰有一解，

即方程在上恰有一解．

令，则，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

又当时，，当时，，且当时，，，

所以作出函数的大致图象，如图所示，

数形结合可知，或．

故实数的取值范围为．