Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的动直线l交抛物线于A、B两点，求弦AB中点Q的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线的准线：，知点P到准线的距离为，由此能求出抛物线方程．
（2）F（0，1），设AB方程为y=kx+1（k显然存在），由，由此能求出弦AB中点Q的轨迹方程．
解答：解：（1）抛物线的准线：，
∴点P到准线的距离为，
∴p=2，
∴抛物线方程为x²=4y．
（2）F（0，1），设AB方程为y=kx+1（k显然存在）
由，（△＞0恒成立）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
则x₁+x₂=4k，
∵Q（x，y）是线段AB的中点，
∴，
∴k=，
∴，
整理，得x²-2y+2=0．
故弦AB中点Q的轨迹方程为：x²-2y+2=0．
点评：本题考查抛物线方程的求法和求弦AB中点Q的轨迹方程．通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．