Question

【题目】在等腰梯形中，，，，点为的中点.现将沿线段翻折，得四棱锥，且二面角为直二面角.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接，取中点，连接，，通过等边三角形的性质得到，，根据线面垂直判定定理得到平面，故而可得结论；（2）由面面垂直性质定理可得平面，求出平面的法向量为，同时是平面的一个法向量，求出法向量夹角的余弦值，进而可得结果.

（1）如图连接，易知，均为正三角形，取中点，

连接，，则，.

又，平面，

平面，

又平面，所以.

（2）因为二面角为直二面角，所以平面平面，

又因为平面平面，且，所以平面.

又因为，故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，.

所以，.

设平面的法向量为.由得

取，所以.

又因为直线平面，所以是平面的一个法向量，

所以.

又因为二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值.