Question

18．关于函数f（x）=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）•x³和实数m、n的下列结论中正确的是（　　）

• A． 若-3≤m＜n，则f（m）＜f（n）
• B． 若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）
• C． 若f（m）＜f（n），则m²＜n²
• D． 若f（m）＜f（n），则m³＜n³

Answer 1

分析 观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+∞）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项．

解答 解：∵函数f（x）=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）•x³，∴f（-x）=（2^-x-$\frac{1}{{2}^{-x}}$）•（-x）³=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）•x³ =f（x），
∴函数是一个偶函数．
又x＞0时，f（x）=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）•x³ 是增函数，且f（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数．
由偶函数的性质知，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立．
考查四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近，故A不能判定是否正确；
B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；
C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出|m|＜|n|，即m²＜n²；
D选项，由f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m³＜n³，故D不成立，
故选：C．

点评 本题是一个指数函数单调性的应用题，利用其单调性比较大小，解答本题的关键是观察出函数是一个偶函数，且能判断出函数在定义域上的单调性，最关键的是能由函数图象的对称性，单调性转化出自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立这个结论．本题考查了判断推理能力，归纳总结能力，是函数单调性与奇偶性综合中综合性较强的题，解题中能及时归纳总结可以顺利求解此类题．