Question

已知函数f(x)=

x2

ax+b

（a，b为常数）且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x₁=3，x₂=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞1，解关于x的不等式；f(x)＜

(k+1)x-k

2-x

．

Answer 1

分析：（1）将x₁=3，x₂=4分别代入方程

x2

ax+b

-x+12=0得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．
（2）不等式即为：即（x-2）（x-1）（x-k）＞0．下面对k进行分类讨论：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．

解答：解：（1）将x₁=3，x₂=4分别代入方程

x2

ax+b

-x+12=0，得

9 3a+b =-9 16 4a+b =-8

，解得

a=-1 b=2

，所以f（x）=

x2

2-x

(x≠2)．
（2）不等式即为

x2

2-x

＜

(k+1)x-k

2-x

，可化为

x2-(k+1)x+k

2-x

＜0
即（x-2）（x-1）（x-k）＞0．
①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．
②当k=2时，不等式为（x-2）²（x-1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；
③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．

点评：本题主要是应用分类讨论思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：
1．要有明确的分类标准；
2．对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；
3．当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱．根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x²-2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）_min≤-1解答此题．