Question

已知函数f（x）=4sin²（x+

π

4

）+4

3

sin²x-（1+2

3

），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称中心；
（2）求函数f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：首先充分利用三角函数公式把原函数转化为y=Asin（ωx+φ）+B形式；
（1）由T=

2π

|w|

求最小正周期；由正弦函数y=sinx的对称中心（kπ，0），求f（x）的对称中心；
（2）由f（x）的定义域利用正弦函数求y=sin（ωx+φ）的值域，然后求f（x）的值域．

解答：解：f（x）=4sin²（x+

π

4

）+4

3

sin²x-（1+2

3

）
=2[1-cos（2x+

π

2

）]-2

3

cos2x-1
=2sin2x-2

3

cos2x+1=4sin（2x-

π

3

）+1．
（1）函数f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π．
由sin（2x-

π

3

）=0得2x-

π

3

=kπ，∴x=

kπ

2

+

π

6

，
所以函数f（x）的图象的对称中心是（

kπ

2

+

π

6

，1）（其中k∈Z）．
（2）当x∈[

π

4

，

π

2

]时，
2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
sin（2x-

π

3

）∈[

1

2

，1]，
4sin（2x-

π

3

）+1∈[3，5]，
所以函数f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的值域是[3，5]．

点评：本题考查诱导公式、倍角公式、差角公式及函数y=Asin（ωx+φ）+B的性质．