Question

已知函数，且函数f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若，求x的取值范围；
（Ⅲ）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函数为奇函数得到f（-x）=-f（x），建立关于x的恒等式，利用系数为0即可得a的范围．
（Ⅱ）代入f（x）的解析式，然后化为整式不等式得到2^x＜3，从而解得x的范围．
（Ⅲ）先设自变量值任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，然后通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，即得函数的单调性．
解答：解：（Ⅰ）∵f（-x）=-f（x），即=0，
（Ⅱ）∵+1，
∴2^x＜3，∴x＜log₂3
（Ⅲ）任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=-=
∵y'=2^x在R上为增函数，x₁＜x₂∴2^X₁＜2^X₂又∵2^X₁+1＞0，2^X₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即∴f（x）在R上为增函数．
点评：本题考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明及解不等式，定义是解决问题的根本，是个中档题．