Question

（2013•房山区一模）已知函数f（x）的定义域是D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；  ②f（

x

5

）=

1

2

f（x）；  ③f（1-x）=1-f（x）．则f（

4

5

）=

1

2

，f（

1

2013

）=

1

32

．

Answer 1

分析：令x=1，由条件求得f（1）=1，f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

，再由 f（

1

5

）+f（

4

5

）=1，由此求得f（

4

5

）的值．
利用条件求得f（

1

3125

）=

1

32

，再令x=

4

5

，由条件求得 f（

4

3125

）=

1

32

，再由

1

3125

＜

1

2013

＜

4

3125

，可得 f（

1

3125

）≤f（

1

2013

）≤f（

4

3125

），即

1

32

≤f（

1

2013

）
≤

1

32

，由此求得 f（

1

2013

）的值．

解答：解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且①f（0）=0；③f（1-x）+f（x）=1，令x=1可得f（1）=1．
又∵②f(

x

5

)=

1

2

f(x)，令x=1，可得 f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

．
再由③可得f（

1

5

）+f（

4

5

）=1，故有f（

4

5

）=

1

2

．
对于②f(

x

5

)=

1

2

f(x)，令x=1可得 f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

；
由此可得 f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

、f（

1

125

）=

1

2

f（

1

25

）=

1

8

、f（

1

625

）=

1

2

f（125）=

1

16

、f（

1

3125

）=

1

2

 f（

1

625

）=

1

32

．
令x=

4

5

，由f（

4

5

）=

1

2

及②f(

x

5

)=

1

2

f(x)，可得 f（

4

25

）=

1

4

，f（

1

125

）=

1

8

，f（

4

625

）=

1

16

，f（

4

3125

）=

1

32

．
再由

1

3125

＜

1

2013

＜

4

3125

，可得 f（

1

3125

）≤f（

1

2013

）≤f（

4

3125

），即

1

32

≤f（

1

2013

）≤

1

32

，故 f（

1

2013

）=

1

32

，
故答案为

1

2

；

1

32

．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．