Question

（2013•房山区一模）在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=

1

2

AD=1，PA=PD，E，F为AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）若PC与AB所成角为45°，求PE的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为F为PC的中点，可联想连结AC，交BE于一点O，即可证明O点为AC的中点，利用三角形中位线知识证得线线平行，从而得到线面平行；
（Ⅱ）以E点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两条异面直线所成角为45°，结合给出的线段的长度，即可求出PE的长度；
（Ⅲ）求出两个平面FBE与BEA的法向量，利用两个平面法向量所成的角求二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，
∵BC∥AD，BC=

1

2

AD，E为AD中点，∴AE∥BC，且AE=BC．
∴四边形ABCE为平行四边形，则O为AC中点．
又F为AD中点，∴OF∥PA．∵OF?平面BEF，PA?平面BEF．∴PA∥平面BEF．
（Ⅱ）解：∵PA=PD，E为AD中点，∴PE⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD．
易知 BCDE为正方形，∴AD⊥BE．
建立如图空间直角坐标系E-xyz，

设PE=t（t＞0），
则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，t），C（-1，1，0）
∴

PC

=(-1，1，-t)，

AB

=(-1，1，0)．
∵PC与AB所成角为45°，
∴|cos＜

PC

，

AB＞

|=|

PC • AB

| PC || AB |

|=|

(-1)×(-1)+1×1+(-t)×0

2+t2 × 2

|
=cos45°=

2

2

，
解得：t=

2

，∴PE=

2

．
（Ⅲ）解：∵F为PC的中点，所以F=(-

1

2

，

1

2

，

2

2

)，

EB

=(0，1，0)，

EF

=(-

1

2

，

1

2

，

2

2

)，
设

n

=(x，y，z)是平面BEF的法向量，
则 

n • EB =y=0 n • EF =- 1 2 x+ 1 2 y+ 2 2 z=0

取x=2，则z=

2

，得

n

=(2，0，

2

)．

EP

=(0，0，

2

)是平面ABE的法向量．
∴|cos＜

n

，

EP＞

|=

| n • EP |

| n || EP |

=

3

3

．
由图可知二面角E-AC-B的平面角是钝角，
所以二面角E-AC-B的余弦值为-

3

3

．

点评：本题考查了线面平行的判定，考查了利用空间向量求二面角的余弦值，解答的关键是空间坐标系的正确建立，同时需要注意的是平面法向量所成的角和二面角的关系，此题是中档题．