Question

（2013•房山区一模）设集合M是R的子集，如果点x₀∈R满足：?a＞0，?x∈M，0＜|x-x₀|＜a，称x₀为集合M的聚点．则下列集合中以1为聚点的有（　　）
①{

n

n+1

|n∈N}；    
②{

2

n

|n∈N*}；    
③Z；    
④{y|y=2^x}．

A．①④

B．②③

C．①②

D．①②④

Answer 1

分析：由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．

解答：解：①{

n

n+1

|n∈N}中的元素构成以1为极限的数列，故对?a＞0，?x∈{

n

n+1

|n∈N}，
使0＜|x-1|＜a成立，故此集合以1为聚点．
②集合{

2

n

|n∈N*}，其中的元素构成以0为极限的数列，故对?a＞0，不存在x∈{

2

n

|n∈N*}，
使0＜|x-1|＜a成立，故1不是此集合的聚点．
③集合{Z}中的元素是整数，故对?a＞0，不存在x∈Z，使0＜|x-1|＜a成立，∴1不是集合Z的聚点．
④集合{y|y=2^x}=（0，+∞），?a＞0，一定?x∈M，使0＜|x-1|＜a 成立，故此集合以1为聚点．
故选A．

点评：本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义--集合的聚点的含义，是解答本题的关键，属于基础题．