Question

（2013•房山区一模）已知函数f(x)=

1

2

x2-alnx-

1

2

(a∈R，a≠0)．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=2时，写出f（x）的表达式，对f（x）进行求导，求出x=1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；
（II）求出函数的定义域，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间；
（III）由题意可知，对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．下面对a进行分类讨论，从而求出a的取值范围；

解答：解：（Ⅰ）a=2时，f(x)=

1

2

x2-2lnx-

1

2

，f(1)=0…（1分）
f′(x)=x-

2

x

，f′(1)=-1…（2分）
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x+y-1=0…（3分）
（Ⅱ）f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

(x＞0)…（4分）
①当a＜0时，f′(x)=

x2-a

x

＞0恒成立，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）
…（6分）
②当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=

a

或x=-

a

x	（ 0， a ）	a	（ ( a ，+∞)
f′（x）	-		+
f（x）	减		增

所以函数f（x）的递增区间为(

a

，+∞)，递减区间为(0，

a

)
…（8分）
（Ⅲ）对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0
①当a＜0时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以只需f（1）≥0
而f(1)=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以a＜0满足题意； …（9分）
②当0＜a≤1时，0＜

a

≤1，f（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以只需f（1）≥0
而f(1)=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以0＜a≤1满足题意；…（10分）
③当a＞1时，

a

＞1，f（x）在[1，

a

]上是减函数，[

a

，+∞)上是增函数，
所以只需f(

a

)≥0即可
而f(

a

)＜f(1)=0
从而a＞1不满足题意； …（12分）
综合①②③实数a的取值范围为（-∞，0）∪（0，1]．…（13分）

点评：考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值和单调性．恒成立的问题，一般都要求函数的最值，此题是一道中档题．