Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+  

1

2

bx2+cx
（1）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且x1+x2+x3=

9

2

，x1x3=-12，且a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f(1)=-

1

2

a，且3a＞2c＞2b，试问：导函数f^′（x）在区间（0，2）内是否有零点，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为 f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，因为x₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的两根，使用根与系数的关系，得出b，c与a的关系式，从而得到f（x）的 解析式及f'（x）的解析式，由f'（x）＜0求出减区间．
（2）求出 f′(1)=-

1

2

a，f'（0）=c，f'（2）=a-c，当c＞0时 f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，当c≤0时，f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．

解答：解：（1）因为 f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，又 x1+x2+x3=

9

2

，x1x3=-12，
则 x2=0，x1+x3=

9

2

．
因为x₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的两根，则 -

3b

2a

=

9

2

，

3c

a

=-12．即b=-3a，c=-4a．
所以f(x)=

1

3

ax3-

3

2

ax2-4ax． 
∴f'（x）=a（x²-3x-4），由x²-3x-4＜0，得-1＜x＜4．
故f（x）的单调递减区间是（-1，4），单调递增区间是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因为f'（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-

1

2

a，所以 a+b+c=-

1

2

a，即3a+2b+2c=0．
因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是 f′(1)=-

a

2

＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①当c＞0时，因为 f′(0)=c＞0，f′(1)=-

a

2

＜0，则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
②当c≤0时，因为 f′(1)=-

a

2

＜0，f′(2)=a-c＞0，则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

点评：本题考查利用导数判断函数的单调性，函数的零点的判断，二次函数的性质与不等式性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．