Question

直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的

3

2

，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（5+

2

）π，求这个旋转体的体积．

Answer 1

考点：组合几何体的面积、体积问题

专题：空间位置关系与距离

分析：画出旋转前的图形，判断构成组合几何体的简单几何体的特征，求出相应的几何量，即可求解整体的体积．

解答： 解：如图，梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．
设CD=x，AB=

3

2

x
AD=AB-CD=

x

2

，BC=

2 x

2

，
S_全面积=S_圆柱底+S_圆柱侧+S_圆锥侧
=πAD²+2πAD•CD+π•AD•BC
=π•

x2

4

+2π•

x

2

•x+π•

x

2

•

2 x

2

=

3+ 2

4

πx2
根据题设

3+ 2

4

πx2=(5+

2

)π，
∴x=2，
∴旋转体体积
V=π•AD2•CD+

π

3

AD2•(AB-CD)
=π•12•2+

π

3

•12•(3-2)
=

7

3

π

点评：本题考查组合体的结构特征，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．