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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    过P（1，0）做曲线C：xy=1，x∈（0，+∞），的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为an．
    （1）求a1的值．
    （2）求证数列{an}是等比数列．
    （3）设bn=
    16an+1316an-3
    ，问是否存在实数m，使得对于任意的正整数M，N，都有|bM-bN|＜m恒成立．若存在，求出m；不存在，说明理由．
    分析：（1）由题意可设切点Qn（an，ank），根据导数的几何意义可求切线方程，当n=1时由切线过点P（1，0）可求a1
    （2）由切线过点Pn-1（an-1，0），代入整理可得
    an
    an-1
    =
    1
    2
    ，可证
    （3）由bn=
    16an+13
    16an-3
    =1+
    1
    an-
    3
    16
    ，构造函数y=1+
    1
    t-
    3
    16
    ，t=(
    1
    2
    )x    ，由复合函数单调性可求数列{bn}的最大项与最小项，而|bM-bN|＜|bn（最大值）-bn（最小值）|，可求m
    解答：解：（1）y'=-x-2，若切点是Qn（an，ank），
    则切线方程为y-an-1=-an-2（x-an）．
    当n=1时，切线过点P（1，0）
    即0-a1-1=-a1-2（1-a1）．得a1=
    1
    2
    ．
    （2）当n＞1时，切线过点Pn-1（an-1，0）
    即0-an-1=-an-2（an-1-an）．得
    an
    an-1
    =
    1
    2
    ．
    ∴数列{an}是首项为
    1
    2
    ，公比为
    1
    2
    的等比数列．
    ∴an=(
    1
    2
    )n    ．…（6分）
    （3）bn=
    16an+13
    16an-3
    =1+
    1
    an-
    3
    16

    令y=1+
    1
    t-
    3
    16
    ，t=(
    1
    2
    )x    （8分）
    由复合函数单调性可知
    当0＜x＜log
    1
    2
    3
    16
    时，y＜0．且单调递增．
    当x＞log
    1
    2
    3
    16
    时，y＞0．且单调递增．
    所以当an=
    4
    16
    ，即n=2，时，b2=17为最大值
    当an=
    2
    16
    ，即n=3，时，b3=-15为最小值            （13分）
    |bM-bN|＜|b3-b2|=32
    所以m＞32                               …（15分）
    点评：本题主要考查了利用函数的导数求解曲线在某点的切线方程，等比数列通项公式的求解及利用复合函数单调性判断数列的单调性进而求解数列的最大项及最小项，属于函数与数列知识的综合应用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知点A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”．
    （Ⅰ）写出矩阵M及其逆矩阵M-1；
    （Ⅱ）请写出△ABC在矩阵M-1对应的变换作用下所得△A1B1C1的面积．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    过P（2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线E：
    x=cosθ
    y=
    		2
    2
    sinθ
    （θ为参数）交于A，B两点．
    （Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程；
    （Ⅱ）求sinα的取值范围．
    （3）（选修4-5 不等式证明选讲）
    已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
    （Ⅰ）求证：
    		a
    +
    		b
    +
    		c
    ≤3    ；
    （Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

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    （Ⅱ）请写出△ABC在矩阵M-1对应的变换作用下所得△A1B1C1的面积．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
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    x=cosθ
    y=
    		2
    2
    sinθ
    （θ为参数）交于A，B两点．
    （Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程；
    （Ⅱ）求sinα的取值范围．
    （3）（选修4-5 不等式证明选讲）
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    （Ⅰ）求证：
    		a
    +
    		b
    +
    		c
    ≤3    ；
    （Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

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    科目：高中数学 来源：2008-2009学年浙江省温州二中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    过P（1，0）做曲线C：xy=1，x∈（0，+∞），的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为an．
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    （2）求证数列{an}是等比数列．
    （3）设，问是否存在实数m，使得对于任意的正整数M，N，都有|bM-bN|＜m恒成立．若存在，求出m；不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2010年陕西省西安市西工大附中高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    如图，过曲线C：y=e-x上一点P（0，1）做曲线C的切线l交x轴于Q1（x1，0）点，又过Q1做x轴的垂线交曲线C于P1（x1，y1）点，然后再过P1（x1，y1）做曲线C的切线l1交x轴于Q2（x2，0），又过Q2做x轴的垂线交曲线C于P2（x2，y2），…，以此类推，过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn+1（xn+1，0），再过点Qn+1做x轴的垂线交曲线C于点Pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，…）．
    （1）求x1、x2及数列{xn}的通项公式；
    （2）设曲线C与切线ln及垂线Pn+1Qn+1所围成的图形面积为Sn，求Sn的表达式；
    （3）若数列{Sn}的前n项之和为Tn，求证：（n∈N+）．

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