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有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知点A(1,0),B(2,2),C(3,0),矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”.
(Ⅰ)写出矩阵M及其逆矩阵M-1
(Ⅱ)请写出△ABC在矩阵M-1对应的变换作用下所得△A1B1C1的面积.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
过P(2,0)作倾斜角为α的直线l与曲线E:
x=cosθ
y=
2
2
sinθ
(θ为参数)交于A,B两点.
(Ⅰ)求曲线E的普通方程及l的参数方程;
(Ⅱ)求sinα的取值范围.
(3)(选修4-5 不等式证明选讲)
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3,
(Ⅰ)求证:
a
+
b
+
c
≤3

(Ⅱ)若c=ab,求c的最大值.
(1)(Ⅰ)M=
cos(-45°)-sin(-45°)
sin(-45°)  cos(-45°)
=
2
2
2
2
-
2
2
2
2

∵矩阵M表示变换“顺时针旋转45°”
∴矩阵M-1表示变换“逆时针旋转45°”
∴M-1=
cos45°-sin45°
sin45°  cos45°
=
2
2
-
2
2
2
2
  
2
2

(Ⅱ)三角形ABC的面积S△ABC=
1
2
×(3-1)×2=2,
由于△ABC在旋转变换下所得△A1B1C1与△ABC全等,故三角形的面积不变,即S△A1B1C1=2.
(2)(Ⅰ)曲线E的普通方程为x2+2y2=1
L的参数方程为
x=2+tcosα
y=tsinα
(t为参数)                       
(Ⅱ)将L的参数方程代入由线E的方程得(1+sin2α)t2+(4cosα)t+3=0
由△=(4cosα)2-4(1+sin2α)×3≥0得sin2α≤
1
7

0≤sinα≤
7
7

(3)(Ⅰ)证明:由柯西不等式得(
a
+
b
+
c
)2≤(a+b+c)(1+1+1)

代入已知a+b+c=3,∴(
a
+
b
+
c
)2≤9
a
+
b
+
c
≤3

当且仅当a=b=c=1,取等号.
(Ⅱ)由a+b≥2
ab
2
ab
+c≤3
,若c=ab,则2
c
+c≤3
(
c
+3)(
c
-1)≤0

所以
c
≤1
,c≤1,当且仅当a=b=1时,c有最大值1.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下列四种说法:
①命题“?x∈R,使得x2+1>3x”的否定是“?x∈R,都有x2+1≤3x”;
②“m=-2”是“直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的必要不充分条件;
③在区间[-2,2]上任意取两个实数a,b,则关于x的二次方程x2+2ax-b2+1=0的两根都为实数的概率为1-
π
16

④过点(
1
2
,1)且与函数y=
1
x
图象相切的直线方程是4x+y-3=0.
其中所有正确说法的序号是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)的图象经过点(1,λ),且对任意x∈R,都有f(x+1)=f(x)+2.数列{an}满足a1=λ-2,an+1=
2n,n为奇数
f(an),n为偶数

(1)当x为正整数时,求f(n)的表达式;
(2)设λ=3,求a1+a2+a3+…+a2n
(3)若对任意n∈N*,总有anan+1<an+1an+2,求实数λ的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(理科)由不全相等的正数xi(i=1,2,…,n)形成n个数:x1+
1
x2
x2+
1
x3
,…,xn-1+
1
xn
xn+
1
x1
,关于这n个数,下列说法正确的是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵M=
01
10
,N=
0-1
10

(Ⅰ)求矩阵NN;
(Ⅱ)若点P(0,1)在矩阵M对应的线性变换下得到点P′,求P′的坐标.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是
x=t
y=2t+1
(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ(Ⅰ)在直角坐标系xOy中,求圆C的直角坐标方程
(Ⅱ)求圆心C到直线l的距离.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|
(Ⅰ)解不等式f(x)>2;
(Ⅱ)求函数y=f(-x)+f(x+5)的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵M=
7-6
4-3
,向量
ξ 
=
6
5

(I)求矩阵M的特征值λ1、λ2和特征向量
ξ
1
ξ2

(II)求M6
ξ
的值.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=sinα
(α为参数)
.以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
π
4
)=2
2

(Ⅰ)求直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.
(3)选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ)已知:a、b、c∈R+,求证:a2+b2+c2
1
3
(a+b+c)2
;    
(Ⅱ)某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3,求其对角线长的最小值.

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