Question

5．给出下列命题：
①A，B是△ABC的内角，且A＞B，则sinA＞sinB；
②{a_n}是等比数列，则{a_n+a_n+1}也为等比数列；
③在数列{a_n}中，如果n前项和S_n=n²+n+2，则此数列是一个公差为2的等差数列；
④O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{sinC}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{sinB}$），λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心；
则上述命题中正确的有①④（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 逐项判断即可．

解答 解：①根据三角形知识，由A＞B，有a＞b，在根据正弦定理可知sinA＞sinB，故①为真；
②如数列1，-1，1，-1，1…，是一等比数列，但a_n+a_n+1=0，所以{a_n+a_n+1}不是等比数列，故②为假；
③由${S}_{n}={n}^{2}+n+2$可得，a₁=S₁=4，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，不能表示首项，故数列不是等差数列，即③为假命题；
④由正弦定理有$sinC=\frac{c}{2R}，sinB=\frac{b}{2R}$，
所以$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2Rλ（\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}{b}）$，即$\overrightarrow{AP}=2Rλ（\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}{b}）$，因为向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{c}，\frac{\overrightarrow{AC}}{b}$分别为与$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$共线的单位向量，由向量加法的几何意义可知其和向量与角CAB的角平分线共线，因为向量AP的起点是A，所以直线AP过三角形的内心，故④为真．
综上可知①④为真命题．
故答案为①④．

点评 本题考查的知识点较多，有正弦定理的运用，等差等比数列的判断及向量的共线表示．本题难点在第4个命题的判断，易错点在第3个命题．