Question

1．已知函数f（x）=（$\frac{co{s}^{2}x}{sinx+1}$-1）•（sinx-cosx）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的解析式，分母不为0，列出不等式求出解集即可；
（2）化简函数f（x）的解析式，利用三角函数的有界性，求出f（x）的值域即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（$\frac{co{s}^{2}x}{sinx+1}$-1）•（sinx-cosx），
∴sinx+1≠0，
即sinx≠-1，
解得x≠π+2kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠π+2kπ，k∈Z}；
（2）∵函数f（x）=（$\frac{co{s}^{2}x}{sinx+1}$-1）•（sinx-cosx）
=（$\frac{1{-sin}^{2}x}{sinx+1}$-1）•（sinx-cosx）
=（1-sinx-1）（sinx-cosx）
=-sin²x+sinxcosx
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，
且-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1≤f（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，
∴函数f（x）的值域为[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了求函数的定义域的应用问题，是基础题目．