Question

若函数f(x)=

1

3

x3-x在(a，10-a2)上有最小值，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，再根据已知在区间（a，10-a²）有最小值确定出参数a的取值范围．

解答：解：由已知，f′（x）=x²-1，有x²-1≥0得x≥1或x≤-1，
因此当x∈[1，+∞），（-∞，-1]时f（x）为增函数，在x∈[-1，1]时f（x）为减函数．
又因为函数f(x)=

1

3

x3-x在(a，10-a2)上有最小值，所以开区间（a，10-a²）须包含x=1，
所以函数f（x）的最小值即为函数的极小值f（1）=-

2

3

，
又由f（x）=-

2

3

可得

1

3

x³-x=-

2

3

，于是得（x-1）²（x+2）=0
即有f（-2）=-

2

3

，因此有以下不等式成立：

-2≤a＜1 10-a2＞1

，可解得-2≤a＜1，
答案为：[-2，1）

点评：本题考查函数的导数，利用导数求函数的极值和最值的问题，分类讨论的思想方法．本题需要注意：在开区间内函数的极小值（本题中也是最小值）在函数导数为零的点处取得，即若x₀∈（a，b），且f′（x₀）=0，则函数f（x）的极值是f（x₀）；再由题意可得这个极值也是函数的最值．