Question

本小题满分12分）

如图，在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H。

   （1）求二面角B₁—EF—B的正切值；

   （2）试在棱B₁B上找一点M，使D₁M⊥平面EFB₁，并证明你的结论.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）连AC、B₁H，则EF//AC，

∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。

∵B₁B⊥平面ABCD，所以B₁H⊥EF，

∴∠B₁HB为二面角B₁—EF—B的平面角。                …………2分

在

故二面角B₁—EF—B的正切值为       …………4分

   （2）在棱B₁B上取中点M，连D₁M、C₁M。

∵EF⊥平面B₁BDD₁，

所以EF⊥D₁M。                                         …………6分

在正方形BB₁C₁C中，因为M、F分别为BB₁、BC的中点，

∴B₁F⊥C₁M  又因为D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，所以B₁F⊥D₁C₁，

所以B₁F⊥D₁M，

∴D₁M⊥平面EFB₁                                      …………8分

   （3）设D₁M与平面EFB₁交于点N，则D₁N为点D₁到平面EFB₁的距离。

在Rt△MB₁D₁中，                       …………10分

故点D₁到平面EFB₁的距离为                           …………12分

解二：（1）在正方体中，以DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则

    ………………2分

设平面EFB₁的一个法向量为

故二面角B₁—EF—B的正切值为                …………6分

   （2）设

                        …………12分

 

【解析】略