Question

2．已知x＞0，则$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}+4}}$+$\sqrt{\frac{x}{x+2}}$的取值范围是（0，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]．

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用导数求出单调区间，即可求值域．

解答 解：f（x）=$（{x}^{2}+4）^{-\frac{1}{2}}+（\frac{x}{x+2}）^{\frac{1}{2}}$，（x＞0）．
f′（x）=-$\frac{1}{2}（{x}^{2}+4）^{-\frac{3}{2}}•2x+\frac{1}{2}（\frac{x}{x+2}）^{-\frac{1}{2}}•\frac{2}{（x+2）^{2}}$=$\frac{-x}{\sqrt{（{x}^{2}+4）^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{x（x+2）^{3}}}$，
令f′（x）=0，$\frac{x}{\sqrt{（{x}^{2}+4）^{3}}}=\frac{1}{\sqrt{x（x+2）^{3}}}$⇒（x²+4）³=x³（x+2）³⇒x²+4=x（x+2）
得x=2，
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，
∴0＜f（x）≤f（2），即0＜f（x）≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：（0，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．