Question

已知圆：x²+y²-4x-6y+12=0．
（1）求过点A（3，5）的圆的切线方程；
（2）点P（x，y）为圆上任意一点，求

y

x

的最值．

Answer 1

分析：（1）先化成圆的标准方程求出圆心和半径，然后对过点A分斜率存在和不存在两种情况进行讨论．当斜率存在时根据圆心到直线的距离等于半径求出k的值，进而可得到切线方程．
（2）设

y

x

=k得到y=kx，然后转化为求满足条件的直线斜率的最值问题，又有当直线与圆相切时可取得最大与最小值，从而可得到答案．

解答：解：（1）由x²+y²-4x-6y+12=0可得到（x-2）²+（y-3）²=1，故圆心坐标为（2，3）
过点A（3，5）且斜率不存在的方程为x=3
圆心到x=3的距离等于d=1=r
故x=3是圆x²+y²-4x-6y+12=0的一条切线；
过点A且斜率存在时的直线为：y-5=k（x-3），即：y-kx+3k-5=0，根据圆心到切线的距离为半径，可得到：
r=1=

|3-2k+3k-5|

1+k2

化简可得到：
（k-2）²=1+k²∴k=

3

4

．
所以切线方程为：4y-3x-11=0．
过点A（3，5）的圆的切线方程为：4y-3x-11=0，x=3
（2）由题意知点P（x，y）为圆上任意一点，故可设

y

x

=k，即要求k的最大值与最小值
即y=kx中的k的最大值与最小值
易知当直线y=kx与圆相切时可取得最大与最小值，此时
d=1=

|2k-3|

1+k2

，整理可得到：3k²-12k+8=0
得到k=

6+2 3

3

或

6-2 3

3

∴

y

x

的最大值为

6+2 3

3

，最小值为

6-2 3

3

点评：本题主要考查圆的切线方程、定点到圆的距离的最值问题．考查基础知识的综合运用和计算能力．