Question

若过点P（2，1）的直线l与抛物线y²=4x交A，B两点，且

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），则直线l的方程

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：向量与圆锥曲线

分析：由题意设出直线方程，和抛物线方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点横纵坐标的和，代入

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

）得到k的值，则直线方程可求．

解答： 解：由题意设过点P（2，1）的直线的斜率为k（k≠0），
则直线方程为y=k（x-2）+1，代入抛物线方程y²=4x得：
k²x²-（4k²-2k+4）x+（1-2k）²=0．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k2-2k+4

k2

．
由

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），得
2

OP

=

OA

+

OB

，
则2（2，1）=（4，2）=（x₁+x₂，y₁+y₂），
∴x₁+x₂=4．
∴x1+x2=

4k2-2k+4

k2

=4，解得k=2，
∴直线方程为y=2（x-2）+1，即2x-y-3=0．
故答案为：2x-y-3=0．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，考查了一元二次方程的根与系数关系，是中档题．