Question

为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度y₁与时间t满足关系式：y1=4-at(0＜a＜

4

3

，a为常数)，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度y₂与时间t满足关系式：y2=

t (0＜t＜1) 3- 2 t (1≤t≤3)

．现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．
（1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值
（2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）建立血液中药物的浓度与时间t的函数关系是解决本题的关键，要根据得出的函数关系式采取合适的办法解决该浓度的最值问题；二次函数要注意对称轴和区间的关系、对勾函数要注意基本不等式的运用；
（2）分段求解关于实数a的范围问题，注意函数值域思想的应用．

解答：解：（1）药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为：当a=1时，
y=y₁+y₂=

-t+ t +4，0＜t＜1 7-(t+ 2 t )，1≤t≤3

；
①当0＜t＜1时，y=-t+

t

+4=-（

t

-

1

2

）²+

17

4

，所以y_max=f（

1

4

）=

17

4

；
②当1≤t≤3时，∵t+

2

t

≥2

2

，所以y_max^=7-2

2

^_（当t=

2

^{_{时取到），因为}}

17

4

＞7-2

2

^{_{，故ymax=f（}}

1

4

^_）=

17

4

_{^{．
（2）由题意y=}}

-at+ t +4(0＜t＜1) 7-(at+ 2 t )(1≤t≤3)

_^①-at+

t

+4≥4_^?-at+

t

≥0_^?a≤

1

t

_{，又0＜t＜1，得出a≤1；
②}7-(at+

2

t

)≥4?at+

2

t

≤3?at≤3-

2

t

由于1≤t≤3得到a≤-

2

t2

+

3

t

，令u=

1

t

，则a≤-2u2+3u，u∈[

1

3

，1]，
所以a≤

7

9

，综上得到以0＜a≤

7

9

．

点评：本题考查学生的函数思想，考查学生分段函数的基本思路，用好分类讨论思想，注意二次函数最值问题，基本不等式在求解该题中作用．恒成立问题的处理方法．用好分离变量法．