Question

（2011•重庆一模）已知向量

a

=（

x

4

，

y

3

），

b

=（

x

4

，-

y

3

），曲线

a

•

b

=1上一点P到点F（5，0）的距离为11，Q为PF 的中点，O为坐标原点，则|

OQ

|等于（　　）

A．2.5

B．1.5或9.5

C．9.5

D．3或9.5

Answer 1

分析：根据向量数量积的坐标运算公式，可得曲线

a

•

b

=1对应的图形是双曲线

x2

16

-

y2

9

=1，得到F（5，0）恰好是双曲线的右焦点．然后设双曲线的左焦点为F'（-5，0），连接PF'、OQ，结合双曲线的定义和三角形的中位线定理，可以计算出O、Q两点的距离．

解答：解：∵向量

a

=（

x

4

，

y

3

），

b

=（

x

4

，-

y

3

），
∴

a

•

b

=

x

4

•

x

4

+

y

3

•（-

y

3

）=

x2

16

-

y2

9

∴曲线

a

•

b

=1就是

x2

16

-

y2

9

=1
对应的图形是双曲线，a²=16，b²=9
∴a=4，b=3，c=

a2+b2

=5
可得点F（5，0）恰好是双曲线的右焦点，
设双曲线的左焦点为F'（-5，0），连接PF'、OQ
∵OQ是△PFF'的中位线，|PF-PF'|=2a=8
∴当点P在双曲线左支上时，|

OQ

|=

1

2

PF'=

1

2

（PF-8）=1.5
当点P在双曲线右支上时，|

OQ

|=

1

2

PF'=

1

2

（PF+8）=9.5
选B

点评：本题以向量的数量积运算为载体，着重考查了圆锥曲线的定义和三角形中位线定理等知识点，属于中档题．