【题目】(1)已知函数,求函数在时的值域;
(2)函数有两个不同的极值点,,
①求实数的取值范围;
②证明:.
(本题中可以参与的不等式:,)
【答案】(1)(2)①②详见解析
【解析】
(1)首先可对函数进行求导,然后分析函数在上的单调性并求出最值,最后即可求出函数在上的值域;
(2)①首先将“有两个不同极值点”转化为“有两个不同的正实根”,再根据(1)中所给出的函数性质即可得出结果;
②可利用分析法进行证明。
(1),令,,
在上有,在上有,
从而有在上为单增函数,在上为单减函数,
,且当时,,故函数的值域为;
(2)①,
题意有两个不同极值点即有两个不同的正实数根,即有两个不同的正实根,
由(1)题函数的性质知:,故;
②由条件有两个不同的极值点,知:
,于是有
所以,即
要证成立,只需证明
只需证
只需证
只需证
只需证,令,
只需证,,而题中已给出该不等式成立.
即证。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知点的极坐标为,求的值.
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【题目】已知点,直线为平面内的动点,过点作直线的垂线,垂足为点,且.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于四点.求的取值范围.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在极坐标系中,O为极点,点在曲线上,直线l过点且与垂直,垂足为P.
(1)当时,求及l的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.
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【题目】动圆P过点,且与直线相切,设动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点F的直线交曲线C于A,B两个不同的点,过点A,B分别作曲线C的切线,且二者相交于点M,若直线的斜率为,求直线的方程.
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【题目】近年来,共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众,某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统,以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计,车辆状况的优惠活动评价的列联表如下:
对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 | |
对车辆状况好评 | |||
对车辆状况不满意 | |||
合计 |
(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系?
(2)为了回馈用户,公司通过向用户随机派送每张面额为元,元,元的 三种骑行券.用户每次使用扫码用车后,都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券,获得元券的概率分别是,,且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车,记该用户当天获得的骑行券面额之和为,求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据:
参考公式:,其中.
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【题目】某班上午有五节课,分別安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课法的种数是
A. 24B. 16C. 8D. 12
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【题目】2019年10月,德国爆发出“芳香烃门”事件,即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款,法国8款,荷兰4款),其中8款检测出芳香烃矿物油成分,此成分会严重危害婴幼儿的成长,有些奶粉已经远销至中国.A地区闻讯后,立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检,已知该地区有6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉,甲、乙、丙3名检测员分别负责进行检测,每人至少抽检1家商店,且检测过的商店不重复检测,则甲检测员检测2家商店的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图所示,已知直线与曲线相切于两点,则对于函数,以下结论成立的是( )
A.有3个极大值点,2个极小值点B.有2个零点
C.有2个极大值点,没有极小值点D.没有零点
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