Question

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象关于点（

3

2

，0）成中心对称．
（1）证明：y=f（x）为周期函数，并指出其周期；
（2）若f（-1）=-2，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）的图象关于点（

3

2

，0）成中心对称，可得到f（x+3）+f（-x）=0，结合f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（x+3）=f（x），问题得证；
（2）f（x）为奇函数，由f（-1）=-2，可求得f（1）=2，f（0）=0，结合其周期为3，可求得f（1）+f（2）+f（3）=0，从而利用其和的周期性解决．

解答：证明：（1）∵函数f（x）图象关于点（

3

2

，0）成中心对称，
∴f（x）+f（3-x）=0，
∴f（x+3）+f（-x）=0，
∴f（x+3）=-f（-x），又f（x）为奇函数，
f（-x）=-f（-x），
∴f（x+3）=f（x），
∴y=f（x）为周期函数，其周期T=3．
（2）∵f（-1）=-2，f（x）为奇函数，
∴f（1）=2，又f（0）=0，
∴f（2）=f（2-3）=f（-1）=-2，f（3）=f（0）=0，
f（1）+f（2）+f（3）=0，
f（4）+f（5）+f（6）=0，
…
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）
=670[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2011）]
=f（2011）=f（670×3+1）=f（1）=2．

点评：本题考查函数的周期性，着重考查函数周期性的证明及应用，求得f（1）+f（2）+f（3）=0，利用和的周期性规律是关键，属于中档题．