Question

2．在某中学举行的环保知识竞赛中，随机抽取x名参赛同学的成绩（得分的整数）进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数为40．
（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图，画出频率分布折线图；
（2）若采用分层抽样的方法，从样本中随机取20人，则第三组和第四组各抽取多少人？
（3）在（2）的条件下，从第三组和第四组抽取的人中任选取2人，则她们不在同一组别的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）由各小组的频率之和为1，第一、三、四、五组的频率分别是0.3，0.15，0.10，0.05，能求出第二小组的频率和第二小组的小长方形的高，由此可补全频率分布直方图（图阴影部分）和频率分布折线图．
（2）由第二小组的频数为40，频率为0.40，由频率=$\frac{频数}{总数}$，能求出第三组抽取的人数和第四组抽取的人数．
（3）用a₁，a₂，a₃表示第三组抽取的三位学生，第四组抽取的二位学生用b₁，b₂表示，利用列举法求出所有的基本事件和满足条件的基本事件，由此能求出第三组和第四组抽取的人中任选取2人，她们不在同一组别的概率．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）因为各小组的频率之和为1，第一、三、四、五组的频率分别是0.3，0.15，0.10，0.05，
所以第二小组的频率为1-（0.30+0.15+0.10+0.05）=0.40．…（2分）
因为第二小组的频率为0.40，
所以落在59.5-69.5的第二小组的小长方形的高=$\frac{频率}{组距}$=$\frac{0.4}{10}$=0.04，
由此可补全频率分布直方图（图阴影部分）和频率分布折线图如右图所示．…（4分）
（2）因为第二小组的频数为40，频率为0.40，
所以$\frac{40}{x}=0.40$，得x=100（人）．…（6分）
所以第三组抽取的人数为$\frac{20}{100}×100×0.15=3$（人），
第四组抽取的人数为$\frac{20}{100}×100×0.10=2$（人）．…（8分）
（3）用a₁，a₂，a₃表示第三组抽取的三位学生，第四组抽取的二位学生用b₁，b₂表示，
则所有的基本事件为：（a₁，a₂）、（a₁，a₃），（a₁，b₁）、（a₁，b₂）、（a₂，a₃）、（a₂，b₁）、（a₂，b₂）、（a₃，b₁）、（a₃，b₂）、（b₁，b₂），共10种．…（10分）
其中满足条件的基本事件为：（a₁，b₁）、（a₁，b₂）、（a₂，b₁）、（a₂，b₂）、（a₃，b₁）、（a₃，b₂），共6种．…（11分）
所以所求概率为p=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．