Question

12．已知函数f（x）=1-$\frac{4}{2{a}^{x}+a}$（a＞0且a≠1）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈（0，1]时，有tf（x）≥4^x-2^x+2+3恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质，令f（0）=0列出方程，求出a的值，然后再验证函数为奇函数得答案；
（2）由0＜x≤1判断出f（x）＞0，再把t分离出来转化为t≥$\frac{{4}^{x}-{2}^{x+2}+3}{f（x）}$对x∈（0，1]时恒成立，利用换元法：令m=2^x，求出m²-2m-3的最大值得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=1-$\frac{4}{2{a}^{x}+a}$（a＞0且a≠1）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
∴f（0）=1-$\frac{4}{2+a}$=0，解得a=2．
验证当a=2时，$f（x）=1-\frac{4}{{2}^{x+1}+2}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$为奇函数，
∴实数a的值是2；
（2）由（1）得f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，当0＜x≤1时，f（x）＞0．
∴当0＜x≤1时，tf（x）≥4^x-2^x+2+3恒成立，
等价于t≥$\frac{{4}^{x}-{2}^{x+2}+3}{f（x）}$=（2^x+1）（2^x-3）=（2^x）²-2•2^x-3对x∈（0，1]时恒成立，
令m=2^x，1＜m≤2，即t≥m²-2m-3，当1＜m≤2时恒成立，
当m=2时，（m²-2m-3）_max=-3，
故所求的t范围是：t≥-3．

点评 本题考查了奇函数的性质及其应用，恒成立问题以及转化思想和分离常数法求参数范围，属中高档题．