Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1)(x－2)2＋y2＝4(x≠0);(2)2+.

【解析】试题分析：（1）用极坐标形式表示点的坐标，根据条件得到|OP|＝ρ，，得到C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)，再化为直角坐标方程；（2）由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积为，根据三角函数的范围得到最值.

解析：

(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．

因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.