Question

【题目】已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N* ．
（1）若2a2 ， a3 ， a2+2成等差数列，求an的通项公式；
（2）设双曲线x2﹣ =1的离心率为en ， 且e2= ，证明：e1+e2++en＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵Sn+1=qSn+1 ①，∴当n≥2时，Sn=qSn﹣1+1 ②，两式相加你可得an+1=qan，

即从第二项开始，数列{an}为等比数列，公比为q．

当n=1时，∵数列{an}的首项为1，∴a1+a2=S2=qa1+1，∴a2=q=a1q，

∴数列{an}为等比数列，公比为q．

∵2a2，a3，a2+2成等差数列，

∴2q+q+2=2q2，求得q=2，或 q=﹣ ．

根据q＞0，故取q=2，∴an=2n﹣1，n∈N*

（2）

证明：设双曲线x2﹣ =1的离心率为en，

∴en= = ．

由于数列{an}为首项等于1、公比为q的等比数列，

∴e2= = = ，q= ，

∴an= ，∴en= = ＞ = ．

∴e1+e2++en＞1+ + +…+ = = ，原不等式得证

【解析】（1）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{an}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a2 ， a3 ， a2+2成等差数列求得公比q的值，可得{an}的通项公式．
（2）利用双曲线的定义和简单性质求得en= ，根据e2= = ，求得q的值，可得{aspan>n}的解析式，再利用放缩法可得∴en= ＞ ，从而证得不等式成立．
本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进行数列求和，数曲线的简单性质，属于难题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．