Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a＞0，β为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos ＝.

(1)若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；

(2)A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1)a＝1;(2).

【解析】试题分析：（1）直线和圆只有一个公共点故得到圆心到直线的距离等于半径，进而求得参数值；(2)由余弦定理得到|AB|2＝3a2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|·cos，由均值放缩得到面积最值.

解析：

(1)由题意知，曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆，直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.

由直线l与圆C只有一个公共点，可得＝a，

解得a＝1或a＝－3(舍去)，

所以a＝1.

(2)曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆，且∠AOB＝，由正弦定理得＝2a，所以|AB|＝a.

又|AB|2＝3a2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|·cos≥|OA|·|OB|，当且仅当|OA|＝|OB|时取等号，

所以S△OAB＝|OA|·|OB|sin≤×3a2×＝，所以△OAB面积的最大值为.