Question

设{a_n}等差数列，数列{b_n}成等比数列．若a₁＜a₂，b₁＜b₂，且b₁=a₁²，b₂=a₂²，4b₃=a₃²，则数列{b_n}的公比为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：设等差数列{a_n}的公差为d，可知d＞0，由等比中项结合等差数列的通项公式可得关于d的方程，解之可得d，代入q=

b2

b1

=

a22

a12

=(

a2

a1

)2，化简可得．

解答： 解：设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁＜a₂可知d＞0，
由等比中项可得b₂²=b₁b₃，即a₂⁴=a₁²a₃²，
由等差数列的通项公式可得（a₁+d）⁴=a₁²（a₁+2d）²，
展开可得a₁⁴+4a₁³d+6a₁²d²+4a₁d³+d⁴=a₁⁴+4a₁³d+4a₁²d²，
化简可得d²+4a₁d+2a₁²=0，解得d=-2a₁±

2

|a₁|，
当a₁≥0时，可得d=-2a₁±

2

a₁＜0，与d＞0矛盾，故舍去，
当a₁＜0时，可得d=-2a₁±

2

a₁＞0，满足题意，
当d=-2a₁+

2

a₁时，代入可得公比q=

b2

b1

=

a22

a12

=(

a2

a1

)2=3-2

2

，满足题意，
当d=-2a₁-

2

a₁时，代入可得公比q=

b2

b1

=

a22

a12

=(

a2

a1

)2=3+2

2

，不满足题意，
综上可得数列{b_n}的公比为：3-2

2

故答案为：3-2

2

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质和通项公式，属中档题．