Question

（本题满分16分）已知等差数列，其前项和为.若,．

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为；

①求数列的通项公式；

②记，数列的前项和为，求所有使得等式成立的正整数，．

 

Answer 1

（１）；（２）； ．

【解析】

试题分析：（１）由于这是一个特殊数列等差数列，根据题中所给两个条件采用回归基本量的构造方程组的方法即可求【解析】
由，化简可得：，又由，化简可得： ，联立方程组却可求解；（２）①由（1）中所求数列的通项代入到题中所要求的区间内可得：，对其化简可得：，由于n的整数特性即可得：，则易求出：；②利用前面所求不难表示出：，这样它就是一个新的等比数列，由求和公式易得：，将它代入已知：，得，化简得，即，即，利用，可得，所以，，所以或或．对这三个数我们采用代入检验的方法即可取舍.

综上可知，存在符合条件的正整数．

试题解析：（１），即；

；

所以，；

（２）

；

得；

；

得，

由，得，化简得，

即，即．

因为，所以，所以，

因为，所以或或．

当时，由（*）得，所以无正整数解；

当时，由（*）得，所以无正整数解；

当时，由（*）得，所以．

综上可知，存在符合条件的正整数．

考点：1.等差数列的基本量；2.等比数列的基本量；3.数列与不等式的综合