Question

已知数列{a_n}，且x＝是函数f(x)＝a_n－1x³－3[(t＋1)a_n－a_n＋1] x＋1(n≥2)的一个极值点．数列{a_n}中a₁＝t，a₂＝t²(t＞0且t≠1) ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n＝2(1－)，当t＝2时，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2010的n的最小值；
（3）若c_n＝，证明：( n∈N^﹡)．

Answer 1

解：（1）f ′(x)＝3an－1x2－3[(t＋1)an－an＋1]，
所以f ′()＝3an－1t－3[(t＋1)an－an＋1]＝0．
整理得：an＋1－an＝t(an－an－1) ．…………………………………………2分
当 t＝1时，{an－an－1}是常数列，得；
当 t≠1时{an－an－1}是以 a2－a1＝t2－t为首项， t为公比的等比数列，
所以 an－an－1＝(t2－t)·t n－2＝(t－1)·t n－1．
方法一：由上式得
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝(t－1)(tn－1＋tn－2＋…＋t)，
即 an－a1＝(t－1)·＝tn－t，
所以 an＝tn(n≥2) ．
又，当t＝1时上式仍然成立，故 an＝tn(n∈N﹡) ．………………………4分
方法二：由上式得： an－tn＝an－1－tn－1，
所以{an－tn}是常数列，an－tn＝a1－t＝0 an＝tn(n≥2) ．
又，当t＝1时上式仍然成立，故 an＝tn(n∈N﹡) ．
（2）当t＝2， bn＝＝2－．
∴Sn＝2n－(1＋＋＋…＋)＝2n－
＝2n－2(1－)＝2n－2＋2·
由Sn＞2010，得
2n－2＋2()n＞2010， n＋()n＞1006，
当n≤1005时， n＋()n＜1006，
当 n≥1006时， n＋()n＞1006，
因此 n的最小值为1006．………………………………………………8分
（3）cn＝且c1＝，所以
．
因为＝＝
＝≥，
所以＝．
从而原命题得证．…………………………………………………………14分

略